本站
非官方網(wǎng)站，信息完全免費(fèi)，僅供參考，不收取任何費(fèi)用，請(qǐng)以官網(wǎng)公布為準(zhǔn)！
2014年湛江市一模
本試卷共4頁,21小題,滿分150分.考試用時(shí)120分鐘
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必用黑色筆跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛筆
將答題卡試卷類型（A）填涂在答題卡上。在答題卡右上角“試室號(hào)”和“座位號(hào)”欄填寫試室號(hào)、
座位號(hào)，將相應(yīng)的試室號(hào)、座位號(hào)信息點(diǎn)涂黑。
2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
4.考試結(jié)束后，將試題與答題卡一并交回。
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)是
A． B． C． D．
2．設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽，則 =
A． B． C． D．
3．若等差數(shù)列 和等比數(shù)列 滿足 則
A．5 B．16 C．80 D．160
4．“ ”是“ ” 的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．如下圖所示的幾何體，其俯視圖正確的是
6．若關(guān)于 、 的不等式組 表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則 的取值范圍是
A． B． C． D． 或
7．若函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間 上有零點(diǎn)，則 在下列區(qū)間單調(diào)遞增的是
A． B． C． D．
8．定義平面向量的正弦積為 ，（其中 為 、 的夾角），已知△ABC中，
，則此三角形一定是
A．等腰三角形 B． 直角三角形 C． 銳角三角形 D． 鈍角三角形
二、填空題：本大題共7小題．考生作答6小題．每小題5分，滿分30分．
（一）必做題（9～13題）
9． 展開式的常數(shù)項(xiàng)的值為________________。
10．點(diǎn) 到雙曲線 的漸近線的距離為______________。
11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果是5，則判斷框內(nèi) 的
的取值范圍是________________。
12．若長方體的頂點(diǎn)都在半徑為3的球面上，則該長方體表面積的最
大值為 ．
13．若函數(shù) ， 分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足 ，則比較 、 、 的大小結(jié)果是 （從小到大排列）．
（二）選做題（14—15題，考生只能從中選做一題）
14．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）
已知曲線 的參數(shù)方程是 ．（ 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線 的極坐標(biāo)方程為 ，則在曲線 上到直線 的距離為 的點(diǎn)有_____________個(gè)。
15．（幾何證明選講選做題）
如圖，⊙O的直徑AB=4，C為圓周上一點(diǎn)，AC=3，CD是⊙O的切
線，BD⊥CD于D,則CD= ．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知函數(shù) ．
的部分圖象如圖所示，其中點(diǎn)P是圖象的一個(gè)最高點(diǎn)。
(1) 求函數(shù) 的解析式；
(2) 已知 且 ，求 ．
17．（本小題滿分12分）
在某次
數(shù)學(xué)考試中，抽查了1000名學(xué)生的成績(jī)，得到頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定85分及其以上為優(yōu)秀。
（1）下表是這次抽查成績(jī)的頻數(shù)分布表，試求正整數(shù) 、 的值；
區(qū)間 [75，80） [80，85） [85，90） [90，95） [95，100]
人數(shù) 50 a 350 300 b
(2) 現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從這1000人中抽取40人的成
績(jī)進(jìn)行分析，求抽取成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)；
(3)在根據(jù)(2)抽取的40名學(xué)生中，要隨機(jī)選取2名學(xué)生參加
座談會(huì)，記其中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列
18．（本小題滿分14分）
如圖，三棱柱 中，△ABC是正三角形，
，平面 平面 ， 。
(1) 證明： ；
(2) 證明：求二面角 的余弦值；
(3) 設(shè)點(diǎn) 是平面 內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，求 的最小值．
19．（本小題滿分14分）
已知正數(shù)數(shù)列 中， ，前 項(xiàng)和為 ，對(duì)任意 ， 、 、 成等差數(shù)列。
(1) 求 和 ；
(2) 設(shè) ，數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，當(dāng) 時(shí)，證明： 。
20．（本小題滿分14分）
已知頂點(diǎn)為原點(diǎn)O的拋物線 的焦點(diǎn) 與橢圓 的右焦點(diǎn)重合
與 在第一和第四象限的交點(diǎn)分別為A、B．
(1) 若△AOB是邊長為 的正三角形，求拋物線 的方程；
(2)若 ，求橢圓 的離心率 ；
(3) 點(diǎn) 為橢圓 上的任一點(diǎn)，若直線 、 分別與 軸交于點(diǎn) 和 ，證探究：
當(dāng) 為常數(shù)時(shí)， 是否為定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論．
21．（本小題滿分14分）
已知 ．
(1) 若 存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
(2) 若 ,求證：當(dāng) 時(shí)， 恒成立；
(3) 設(shè) ，證明： 。
1.A 2.D 3.C 4.B 5.C 6.B 7.D 8.A
9. 20 10. 11. 12. 72 13. 14. 3 15.
16.解：(1)由函數(shù)最大值為2 ，得A=2 。……………………………………………………….1分
由圖可得周期 ，……………………………………………………….2分
由 ，得 。 ……………………………………………………….3分
又 ，及 得 …………………….5分
。 ……………………………………………………….6分
（2） ，…………………….8分
．………………….12分
17. 解：（1）80分至85分的人數(shù)為： （人）；
95分至100分的人數(shù)為： （人）；
（2）用分層抽樣的方法從1000人中抽取40人，其中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為：
（人）；
（3）在抽取的40人中，85分以下的共有10人，85分及其以上的共有30人，從中抽取的2人中，
成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)X的可能取值分別是：0人、1人、2人，其分布列如下表：
X 0 1 2
P(X)
18.（1）證明：∵ ，△ 是正三角形，
∴ ， ∴ ,
又∵ , ∴△ 是正三角形，
取 中點(diǎn) ，連結(jié) 、 ，則
又∵ ，∴ ,
又∵ ,∴
（2）證明：∵ ，由（1）知 ，
∴ ，∴ ；
∵
∴
∵ , ∴ ，
在
∴
（3）解：延長 至 使 ，連結(jié) 、 、 ，
則 就是 的最小值，
以 為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)
的坐標(biāo)為 ， 的坐標(biāo)是 ，
19. 解：（1）依題意： ， 即 ，∴ .
∴ . 當(dāng) 時(shí)，
②代入①并整理得:
∴ ， ， ， ，…，
把以上 個(gè)式子相乘得： ，又∵ ∴
∵當(dāng) 時(shí)， 也滿足上式，所以
∵
∴
（2）
∴
∵ ， ∴ ，∴
又
∴ 。
20. 解：（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為 ，依題意得拋物線的方程為 ………………………1分
∵△ 是邊長為 的正三角形，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是 ， …………………………3分
代入拋物線的方程 解得 ，故所求拋物線 的方程為 …………………4分
（2）∵ , ∴ 點(diǎn) 的橫坐標(biāo)是
代入橢圓方程解得 ，即點(diǎn) 的坐標(biāo)是 …………………………5分
∵ 點(diǎn) 在拋物線 上， ∴ ， …………………………6分
將 代入上式整理得： ，
即 ，解得 …………………………7分
∵ ，故所求橢圓 的離心率 。 …………………………8分
（3）證明：設(shè) ，代入橢圓方程得 …………9分
而直線 的方程為 …………………………10分
令 得 。 …………………………11分
在 中，以 代換 得 …………………………12分
∴
∴當(dāng) 為常數(shù)時(shí)， 是定值。 …………………………14分
21.解：(1)當(dāng) 時(shí)， ∴ . …………………………1分
∵ 有單調(diào)減區(qū)間，∴ 有解，即
∵ ，∴ 有解。 …………………………2分
（ⅰ）當(dāng) 時(shí)符合題意；
（ⅱ）當(dāng) 時(shí)，△ ，即 。∴ 的取值范圍是 。 …………4分
（2）當(dāng) 時(shí)，設(shè) ，∴ ……5分
∵ ，討論 的正負(fù)得下表：
…………………………6分
∴當(dāng) 時(shí) 有最大值0. 即 恒成立。
∴當(dāng) 時(shí)， 恒成立。 …………………………8分
（3）∵ ，∴
…………………………10分
………12分
由（2）有
∴ …………………………14分
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) http://ukshopfit.com/math/
