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本試卷共4頁，共21小題，滿分150分. 考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛筆將答題卡試卷類型（A）填涂在答題卡上。在答題卡右上角的“試室號(hào)”和“座位號(hào)”欄填寫試室號(hào)、座位號(hào)，將相應(yīng)的試室號(hào)、座位號(hào)信息點(diǎn)涂黑.
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，不能答在試卷上.
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效.
4．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.
參考公式：棱錐的體積公式： ， 是棱錐底面積， 是棱錐的高.
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 設(shè)集合 , ，,則 （ ）
2．已知 是實(shí)數(shù)， 是純虛數(shù)，則 等于（ ）
A. B. C. D.
3. 若 ，則有（ ）.
A. B. C. D.
4. 已知橢圓與雙曲線 的焦點(diǎn)相同，且橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為 ，那么橢圓的離心率等于( )
A. B. C. D.
5. 函數(shù) 是（ ）
A．最小正周期為 的奇函數(shù) B．最小正周期為 的偶函數(shù)
C．最小正周期為 的奇函數(shù) D．最小正周期為 的偶函數(shù)
6. 已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( )
A． B． C． D．
7. 已知向量 與 的夾角為 ,且 ,若 ,且, ,則實(shí)數(shù) 的值為( ）
A． B． C． D．
8. 設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足 ，則 的取值范圍是( )
A． B． C． D．
二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分.
（一）必做題（9~13題）
9. 等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，若 ，則
10.已知函數(shù) ，則曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為___________.
11. 已知實(shí)數(shù) ，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的 不小于47的概率為 �。�
12. 不等式 解集是_____________________.
13. 已知函數(shù) ，且關(guān)于x的方程 有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
（二）選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）
14.（幾何證明選講選做題）如圖, 是圓 的直徑,點(diǎn) 在圓 上,延長 到 使 ,過 作圓 的切線交 于 .若 ,, 則 _________.
15.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中,圓 的圓心到直線 的距離是
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16. （本小題滿分12分）
如圖，在 中， ， ， ，點(diǎn) 是 的中點(diǎn), 求:
（1）邊 的長；
（2） 的值和中線 的長.
17. （本小題滿分12分）
某學(xué)校隨機(jī)抽取部分新生調(diào)查其上學(xué)路上所需時(shí)間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，上學(xué)路上所需時(shí)間的范圍是 ，樣本數(shù)據(jù)分組為 ， ， ， ， .
（1）求直方圖中 的值；
（2）如果上學(xué)路上所需時(shí)間不少于60分鐘的學(xué)生可申請(qǐng)?jiān)趯W(xué)校住宿，請(qǐng)估計(jì)學(xué)校1000名新生中有多少名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿；
（3）現(xiàn)有６名上學(xué)路上時(shí)間小于 分鐘的新生，其中２人上學(xué)路上時(shí)間小于 分鐘. 從這６人中任選２人，設(shè)這２人中上學(xué)路上時(shí)間小于 分鐘人數(shù)為 ,求 的分布列和
數(shù)學(xué)期望．
18. （本小題滿分14分）
如圖所示的多面體中， 是菱形， 是矩形， 平面 ， ， ．
(1) 求證：平面 平面 ；
(2) 若二面角 為直二面角，求直線 與平面 所成的角 的正弦值．
19.（本小題滿分14分）
已知函數(shù)
（1）當(dāng) 時(shí)，求 的單調(diào)區(qū)間；
（2）若 在 的最大值為 ，求 的值.
20.（本小題滿分14分）
已知 為公差不為零的等差數(shù)列，首項(xiàng) ， 的部分項(xiàng) 、 、…、 恰為等比數(shù)列，且 ， ， .
（1）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式 （用 表示）；
（2）設(shè)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 , 求證： （ 是正整數(shù)）.
Ks5u
21.（本小題滿分14分）
設(shè)拋物線 的焦點(diǎn)為 ，點(diǎn) ，線段 的中點(diǎn)在拋物線上. 設(shè)動(dòng)直線 與拋物線相切于點(diǎn) ，且與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn) ，以 為直徑的圓記為圓 ．
（1）求 的值；
（2）試判斷圓 與 軸的位置關(guān)系；
（3）在坐標(biāo)平面上是否存在定點(diǎn) ，使得圓 恒過點(diǎn) ？若存在，求出 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
一、選擇題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．共8小題，每小題5分，滿分40分．
CAABA CDB
題目解析:
1. 解析： ，所以 ，選C
2.解析： 是純虛數(shù)，則 ； ，選A
3. 解析： ， ， ， 選A.
4. 解析： ， ， 選B
5. 解析： ，所以 是最小正周期為 的奇函數(shù)，選A
6. 解析：由三視圖易知，該幾何體是底面積為 ，高為3的三棱錐，由錐體的體積公式得 .選C Ks5u
7. 解析： 得
,選D
8. 解析：：作出可行域如圖，當(dāng)平行直線系 在直
線BC與點(diǎn)A間運(yùn)動(dòng)時(shí)， ，此時(shí)
，平行直線線 在點(diǎn)
O與BC之間運(yùn)動(dòng)時(shí)， ，此時(shí)， . .選B
二、填空題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題．
9. 10. , 11. 12. 13.
14. 15. .
題目解析:
9. 解析：可已知可得,
10. 解析：由幾何概型得到輸出的x不小于47的概率為P= =
11. 解析： ， ， 切線方程 ，即 Ks5u
12. 解析：設(shè) ，則 .由 ，解得 ，所以解集為
13. 解析：如圖，在同一坐標(biāo)系中分別作出 與 的圖象，
其中a表示直線在y軸上截距，由圖可知，當(dāng) 時(shí)，直線
與 只有一個(gè)交點(diǎn).
14. 解析：利用已知條件可得 ，
15. 解析：如下圖, 設(shè)圓心到直線距離為 ，因?yàn)閳A的半徑為 ，
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16．(本題滿分12分)
解：解：由 可知， 是銳角，
所以， ………………………….2分
由正弦定理
………………. ………………………………………………………………………5分
(2)
………………………………………………8分
由余弦定理:
………………. ………………………………………………12分
17. (本題滿分12分)
（1）由直方圖可得：
.[學(xué)所以 .……………………………2分
（2）新生上學(xué)所需時(shí)間不少于60分鐘的頻率為：
…………………………………4分
因?yàn)?nbsp;
所以 名新生中有 名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿.………………6分
（3） 的可能取值為0，1，2. …………………………………7分
所以 的可能取值為 ………………………………７分
所以 的分布列為：
0 1 2
………………………11分
………………………………12分
18.（本小題滿分14分）
（1）矩形 中， --------1分
平面 ， 平面 , 平面 ，-2分
同理 平面 ,-------3分
又 u 平面 ∥平面 ------4分
（2）取 的中點(diǎn) .
由于 面 , ∥ ,
又 是菱形， 是矩形，所以， 是全等三角形，
所以 ， 就是二面角 的平面角-------8分
解法1（幾何方法）：
延長 到 ，使 ,由已知可得， 是平行四邊形，又 矩形，所以 是平行四邊形， 共面，由上證可知， ， , 相交于 ， 平面 ， 為所求.
由 , ,得
等腰直角三角形 中， ,可得
直角三角形 中,
解法2幾何方法）：由 ， ， 得 平面 ，欲求直線 與平面 所成的角，先求 與 所成的角. ------12分
連結(jié) ，設(shè) 則在 中， ， ，用余弦定理知 ---14分
解法3（向量方法）：以 為原點(diǎn)， 為 軸、 為 軸
建立如圖的直角坐標(biāo)系，由 則 ，
，平面 的法向量 ， -------12分
. ---14分
19.（本小題滿分14分）
解:(1) ……………………………………….1分
其判別式 ，
因?yàn)?， 所以， ，對(duì)任意實(shí)數(shù)， 恒成立，Ks5u
所以， 在 上是增函數(shù)……………………………………….4分
（2）當(dāng) 時(shí)，由（1）可知， 在 上是增函數(shù)，所以 在 的最大值為 ，由 ，解得 （不符合，舍去）……………………………6分
當(dāng) 時(shí) ， ，方程 的兩根為
， ，………………………………………8分
圖象的對(duì)稱軸
因?yàn)?
（或 ）, 所以
由 解得
①當(dāng) ， ，因?yàn)?，所以 時(shí)， , 在 是減函數(shù)， 在 的最大值 ，由 ，解得 （不符合，舍去）.………………………………….………………………12分
②當(dāng) ， ， ， ， 在 是減函數(shù)， 當(dāng) 時(shí)， ， 在 是增函數(shù).所以 在 的最大值 或 ，由 ， ，解得 （不符合，舍去）， ……………………14分
綜上所述
20.（本小題滿分14分）
解：（1）設(shè)數(shù)列 的公差為 ，
由已知得 ， ， 成等比數(shù)列，
∴ ，且 ……………………………2分
得 或
∵ 已知 為公差不為零
∴ ， ……………………………3分
∴ . ……………………………4分
（2）由（1）知 ∴
……………………………5分
而等比數(shù)列 的公比 .
∴ ……………………………6分
因此 ，
∵
∴ ……………………………7分
∴
……………………………9分
∵當(dāng) 時(shí)，
∴ ……………………………11分
∴當(dāng) 時(shí)， ，不等式成立；
當(dāng) 時(shí)，
綜上得不等式 成立.
……………………………14分
法二∵當(dāng) 時(shí)，
∴ ……………………………11分
∴當(dāng) 時(shí)， ，不等式成立；
當(dāng) 時(shí)， ，不等式成立；
當(dāng) 時(shí)，
綜上得不等式 成立.
……………………………14分
所以， 時(shí)， ，
時(shí)， 綜上得不等式 成立.
20.（本小題滿分14分）
解：（1）利用拋物線的定義得 ，故線段 的中點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，代入方程得 ，解得 。 ……………………………2分
（2）由（1）得拋物線的方程為 ，從而拋物線的準(zhǔn)線方程為
……………………………3分
由 得方程 ，
由直線與拋物線相切，得 ……………………………4分
且 ，從而 ，即 ， ……………………………5分
由 ，解得 ， ……………………………6分
∴ 的中點(diǎn) 的坐標(biāo)為 Ks5u
圓心 到 軸距離 ，
∵
………………………………………8分
∵ ，
∴ 當(dāng) 時(shí)， ，圓 與 軸相切；
當(dāng) 時(shí)， ，圓 與 軸相交；……………………9分
(或，以線段 為直徑圓的方程為:
令 得
∴ 當(dāng) 時(shí)， ，圓 與 軸相切；
當(dāng) 時(shí)， ，圓 與 軸相交；……………………9分
（3）方法一：假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn) 滿足條件，由拋物線對(duì)稱性知點(diǎn) 在 軸上，設(shè)點(diǎn) 坐標(biāo)為 ，…………………………………………………………………………10分
由（2）知 ，
∴ 。
由 得，
所以 ，即 或
……………………………13分
所以平面上存在定點(diǎn) ，使得圓 恒過點(diǎn) .
……………………………14分
證法二：由（2）知 ， ， 的中點(diǎn) 的坐標(biāo)為
所以圓 的方程為
……………………………11分
整理得
……………………………12分
上式對(duì)任意 均成立，
當(dāng)且僅當(dāng) ，解得 ……………………………13分
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) http://ukshopfit.com/math/
