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2014
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數(shù)學(xué)試題答案
豐臺(tái)區(qū)2013-2014學(xué)年度第二學(xué)期期中練習(xí)
高 三 數(shù) 學(xué)（理科） 2014.3
第一部分 （選擇題 共40分）
一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的4個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。
（1）設(shè)集合,,則等于
（A） （B）
（C） （D）
（2）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（）到直線的距離是
（A）1 （B）
（3）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的x值為
（A） （B）
（C） （D）
（4）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，則下列各式中
一定成立的是
（A） （B）
（C） （D）
（5） “”是 “”的
充分而不必要條件必要而不充分條件
充分必要條件既不充分也不必要條件
，，則下列說法正確的是
（A），乙比甲成績穩(wěn)定，應(yīng)該選乙參加比賽
（B），甲比乙成績穩(wěn)定，應(yīng)該選甲參加比賽
（C），甲比乙成績穩(wěn)定，應(yīng)該選甲參加比賽
（D），乙比甲成績穩(wěn)定，應(yīng)該選乙參加比賽
（7）棱長為2的正方體被一平面截成兩個(gè)幾何體，其中一個(gè)幾何體的三視圖如
圖所示，那么該幾何體的體積是
（A） （B）4
（C） （D）3
（8）如果某年年份的各位數(shù)字之和為7，我們稱該年為“七巧年”.例如，今年
年份2014的各位數(shù)字之和為7，所以今年恰為“七巧年”.那么從2000年
到2999年中“七巧年”共有
（A）24個(gè) （B）21個(gè) （C）19個(gè) （D）18個(gè)
第二部分 （非選擇題 共110分）
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。
（9） 已知，則的值為_______________.
(10)已知等比數(shù)列中, ，則 .
(11) 如圖,已知圓的兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)F，E是AB延長線上一點(diǎn),
且DF=CF=,AF:FB:BE=4：2：1.若CE與圓相切,則線段CE的長
為 ．
(12) 已知點(diǎn)F,B分別為雙曲線C:的焦點(diǎn)和虛軸端點(diǎn)，若線段FB的中點(diǎn)在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率是___________.
(13)已知平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，，
(),若∥，則=______________.
(14)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镸，不等式組
表示的平面區(qū)域?yàn)镹.在M內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)在N內(nèi)的概率的最大值
是_________.
三、解答題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
(15)(本小題共13分)
已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.
(16) (本小題共13分)
年齡在60歲（含60歲）以上的人稱為老齡人，某地區(qū)老齡人共有35萬，隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)700名老齡人的健康狀況，結(jié)果如下表：
健康指數(shù)210-160歲至79歲的人數(shù)250260652580歲及以上的人數(shù)20452015其中健康指數(shù)的含義是：2表示“健康”，1表示“基本健康”，0表示“不健康，但生活能夠自理”，-1表示“生活不能自理”。
（Ⅰ）估計(jì)該地區(qū)80歲以下老齡人生活能夠自理的概率。
（Ⅱ）若一個(gè)地區(qū)老齡人健康指數(shù)的平均值不小于1.2，則該地區(qū)可被評(píng)為“老齡健康地區(qū)”.請(qǐng)寫出該地區(qū)老齡人健康指數(shù)X分布列，并判斷該地區(qū)能否被評(píng)為“老齡健康地區(qū)”.
(17) (本小題共14分)
如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱AB上的動(dòng)點(diǎn).
（Ⅰ）求證：DA1⊥ED1 ；
（Ⅱ）若直線DA1與平面CED1成角為45o，求的值；
（Ⅲ）寫出點(diǎn)E到直線D1C距離的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的位置（結(jié)論不要求證明）.
(18) (本小題共13分)
已知曲線.
（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)（）
（Ⅱ）若存在使得，求的取值范圍.
(19) (本小題共14分)
如圖，已知橢圓E: 的離心率為，過左焦點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M,直線：交橢圓E于C,D兩點(diǎn).
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求證：點(diǎn)M在直線上；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)k,使得三角形BDM的面積是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.
(20) (本小題共13分)
從數(shù)列中抽出一些項(xiàng)，依原來的順序組成的新數(shù)列叫數(shù)列的一個(gè)
子列.
（Ⅰ）寫出數(shù)列的一個(gè)是等比數(shù)列的子列；
（Ⅱ）若是無窮等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比且，則數(shù)列是否存在一個(gè)子列為無窮等差數(shù)列？若存在，寫出該子列的通項(xiàng)公式；若不存在，證明你的結(jié)論.
一、選擇題
題號(hào)12345678答案DCACADBB
二、填空題
9． 10. 9 11. 12. 13. 2 14.
三、解答題
15.解：（）
所以的最小正周期為π.
（）由（）知
因?yàn)�，所以，�?dāng)，即時(shí)，函數(shù)取最大值，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取最小值.
所以，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.
16.解：（）該地區(qū)80歲以下老齡人生活能夠自理的頻率為，所以該地區(qū)80歲以下老齡人生活能夠自理的概率約為.
（）該地區(qū)老齡人健康指數(shù)X的可能取值為2,1,0,-1,其分布列為(用頻率估計(jì)概率)：
X210-1pEX==1.15
因?yàn)镋X<1.2，所以該地區(qū)不能被評(píng)為“老齡健康地區(qū)”.
17. 解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則D(0,0,0),A（，0，0），B(1,1,0)，C(0,,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1)，設(shè)E(,m,0)（0≤m≤）
（）證明：，
所以DA1ED1.
-------------------------------------------------------------4分
（）設(shè)平面CED1的一個(gè)法向量為,則
，而，
所以取z=,得y=,x=1-m，得
因?yàn)橹本�DA1與平面CED1成角為45o，所以
所以，所以，解得m=.（）點(diǎn)E到直線D1C距離的最大值為，點(diǎn)E
18.解：（），，，所以曲線在點(diǎn)（）處的切線方程為：y=(a-1)x-1.
（）當(dāng)a>0時(shí)，，則.
因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，
所以在內(nèi)，在內(nèi)，
所以在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)，
所以的最大值為因?yàn)榇嬖谑沟�，所以，所�?
當(dāng)時(shí)，<0恒成立，函數(shù)在R上單調(diào)遞減,而，即存在使得，所以
綜上所述，的取值范圍是(-∞,0)[e,+∞)----------------------------------------13分
19. 解：（）由題意可知，，.
所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方為程（）設(shè)，，
即，，，
于是.
因?yàn)椋栽谥本�上（）由（）知點(diǎn)A到直線CD的距離與點(diǎn)B到直線CD的距離相等，
?BDM的面積是?ACM面積的3倍DM|=3|CM|，因?yàn)镺D|=|OC|，M為OC中點(diǎn)，則.因?yàn)�，解�?
于是，解得，所以.----------------14分
20. 解：（）
（）證明：假設(shè)能抽出一個(gè)子列為無窮等差數(shù)列，設(shè)為，通項(xiàng)公式為，所以.
（1）當(dāng)時(shí)，（0，1]，且數(shù)列是遞減數(shù)列，
所以也為遞減數(shù)列且（0，1]，,
令，得，即存在使得，這與（0，1]矛盾.
當(dāng)時(shí)，1，數(shù)列是遞增數(shù)數(shù)列，
所以也為遞增數(shù)列且1，，
所以存在正整數(shù)m使得.
令，則，
因?yàn)?，
所以，即，但這與矛盾，說明假設(shè)不成立.
綜上，所以數(shù)列不存在是無窮等差數(shù)列的子列.
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