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2014
湛江二模數(shù)學(xué)（理科）答案
本試卷共4頁(yè),21小題,滿(mǎn)分150分.考試用時(shí)120分鐘
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必用黑色筆跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。用2B鉛筆
將答題卡試卷類(lèi)型（A）填涂在答題卡上。在答題卡右上角“試室號(hào)”和“座位號(hào)”欄填寫(xiě)試室號(hào)、座位號(hào)，將相應(yīng)的試室號(hào)、座位號(hào)信息點(diǎn)涂黑。
2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無(wú)效。
4.考試結(jié)束后，將試題與答題卡一并交回。
參考公式：，其中為樣本容量。
參考數(shù)據(jù)：
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿(mǎn)分40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．一個(gè)幾何體的正視圖、側(cè)視圖、和俯視圖形狀都相同，大小均相等，則這個(gè)幾何體不可以是
A．球 B．三棱錐 C．正方體 D．圓柱
3．已知，則、、的大小關(guān)系是
A． B． C． D．
4．下列命題正確的是
A．若兩條直線(xiàn)和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線(xiàn)平行
B．若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行
C．若一條直線(xiàn)平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線(xiàn)與這兩個(gè)平面的交線(xiàn)平行
D．若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行
5．已知向量，則的充要條件是
A． B． C． D．
6．已知雙曲線(xiàn)的離心率為2，一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)相同，則雙曲
線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為
A． B． C． D．
7．已知實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足不等式組，且恒成立，則的取值范圍是
A． B． C． D．
8．對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù)，定義某種運(yùn)算“※”，法則如下：當(dāng)都是正奇數(shù)時(shí)，※=；
當(dāng)不全為正奇數(shù)時(shí)，※=。則在此定義下，集合
中的元素個(gè)數(shù)是
A． 7 B． 11 C． 13 D． 14
二、填空題：本大題共小題．考生作答小題．每小題5分，滿(mǎn)分0分．
（一）必做題（～13題）中，，則 ________________。
10．閱讀如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的值為_(kāi)_________.
11．某小區(qū)有7個(gè)連在一起的車(chē)位，現(xiàn)有3輛不同型號(hào)的車(chē)
需要停放，如果要求剩余的4個(gè)車(chē)位連在一起，那么
不同的停放方法共有 __________種。（用數(shù)字作答）
12．在長(zhǎng)為6的線(xiàn)段上任取一點(diǎn)，現(xiàn)作一矩形，
鄰邊長(zhǎng)分別等于線(xiàn)段，的長(zhǎng)，則該矩形面積
大于8的概率為 ．
13．若函數(shù)滿(mǎn)足，且時(shí)，
；函數(shù)，則函數(shù)與的
圖象在區(qū)間內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)共有 個(gè)。
（二）選做題（1415題，考生只能從中選做一題）
14．：的圓心到直線(xiàn)
的距離是_______________.
15．的直徑，
為圓周上一點(diǎn)，，過(guò)作圓的切線(xiàn)，則點(diǎn)到
直線(xiàn)的距離___________.
三、解答題：本大題共6小題，滿(mǎn)分80分．解答寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟．
(1)求的定義域及最小正周期；
(2)求的單調(diào)遞減區(qū)間．
17．（本小題滿(mǎn)分12分）
某中學(xué)將100名高一新生分成水平相同的甲、乙兩個(gè)“平行班”，每班50人，吳老師采用A、B
兩種不同的教學(xué)方式分別在甲、乙兩個(gè)班進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn)。為了解教學(xué)效果，期末考試后，分別從兩個(gè)
班級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，作出的莖葉圖如下：
記成績(jī)不低于90分者為“成績(jī)優(yōu)秀”。
（1）在乙班樣本的20個(gè)個(gè)體中，從不低于80分的成績(jī)中隨機(jī)抽取2個(gè)，記隨機(jī)變量為抽到“成績(jī)優(yōu)秀”的個(gè)數(shù)，求的分布列及
數(shù)學(xué)期望；
(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)？
18．（本小題滿(mǎn)分14分）
在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，平面，
//，//，//，.
(1)若是線(xiàn)段的中點(diǎn)，求證：//平面；
(2)若，求二面角的余弦值．
19．（本小題滿(mǎn)分14分）
已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，且分別是等比數(shù)列的，，。
(1) 求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2) 設(shè)數(shù)列對(duì)任意正整數(shù)均有成立，求的值。
20．（本小題滿(mǎn)分14分）
如圖，點(diǎn)是橢圓：的一個(gè)頂點(diǎn)，的長(zhǎng)軸是圓：
的直徑，是過(guò)點(diǎn)且互相垂直的兩條直線(xiàn)，其中交圓于、兩點(diǎn)，
交橢圓于另一點(diǎn)。
(1) 求橢圓的方程；
(2) 求△面積的最大值及取得最大值時(shí)
直線(xiàn)的方程。
21．（本小題滿(mǎn)分14分）
已知函數(shù)
(1) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2) 證明：對(duì)任意的，存在唯一的，使；
(3) 設(shè)（2）中所確定的關(guān)于的函數(shù)為，證明：當(dāng)時(shí)，有。
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
1.A 2.D 3.B 4.C 5.A 6.A 7.B 8.C
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
9. 8 10. 11. 12. 13. 14. 15.
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
16.（本小題滿(mǎn)分12分）
解：（1）由，得，
故的定義域?yàn)? …………………………………….2分
∵
…………………………………….6分
∴函數(shù)的最小正周期 …………………………………….7分
（2）∵函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
由，
得……………………………………….10分
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為……………….12分
17. （本小題滿(mǎn)分12分）
解：（1）由題意得 ……………………………………….1分
故 …………….4分
∴的分布列為：
……………………………………….6分
（2）由已知數(shù)據(jù)得
……………………………………….10分
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，。
由于，所以有90%的把握認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)。……….12分
18.（本小題滿(mǎn)分14分）
（1）∵
∴△∽△。 …………………………….2分
由于，因此
連接，由于，………….3分
在平行四邊形中，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，
則，且，……………….4分
因此，且,
所以四邊形為平行四邊形，∴
又平面平面，∴平面 ………………6分
（2）解：∵，∴,
又平面，∴兩兩垂直。
分別以所在直線(xiàn)為軸、軸、
軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。
…………………………….7分
則 …………………………….8分
故，又，∴,
.設(shè)平面的法向量，則
，∴ ，取，得，所以
。 ……………………………………….10分
設(shè)平面的法向量，則
，∴ ，取，得，所以
。 ……………………………………….12分
所以
故二面角的余弦值為 。 ……………………………………….14分
19. (本小題滿(mǎn)分14分)
解：（1），且成等比數(shù)列，
∴，即， ……………………………………………2分
∴ ………………………………………………4分
又∵∴ …………………………………6分
（2）∵， ①
∴，即，
又， ②
①②得 ……………………………………………9分
∴，∴，……………………………………11分
則
……………14分
20.（本小題滿(mǎn)分14分）
解：（1） ……………………………………………2分
∴橢圓的方程為 …………………………………………3分
（2）設(shè)
由題意知直線(xiàn)的斜率存在，不妨設(shè)其為，則直線(xiàn)的方程為。……4分
故點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，又圓：，
∴ ……………………………………………5分
又，∴直線(xiàn)的方程為
由，消去，整理得，
故，代入的方程得
∴ ………………………………7分
設(shè)△的面積為，則
∴………………12分
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)上式取等號(hào)。
∴當(dāng)時(shí)，△的面積取得最大值，
此時(shí)直線(xiàn)的方程為 ……………………………………………14分
21. （本小題滿(mǎn)分14分）
（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?/div>
，令，得…………………………2分
當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：
極小值
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是……………4分
（2）證明：當(dāng)時(shí)，。設(shè)，令
由（1）知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增。 …………………………6分
故存在唯一的，使得成立。 …………………………8分
（3）證明：∵，由（2）知，，且，
∴…………………………10分
其中，，要使成立，只需且。 ………12分
當(dāng)時(shí)，若，則由的單調(diào)性，有，矛盾。
所以，即，從而成立。
又設(shè)，則
所以在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)為減函數(shù)，
在上的最大值為
∴成立。 ………………………13分
∴當(dāng)時(shí)，成立。 ………………………………14分
注：如上各題若有其它解法，請(qǐng)?jiān)u卷老師酌情給分。
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) http://ukshopfit.com/math/
